Black Scholes Verdiaksjeopsjoner

Alternativprissetting Black-Scholes-modellen. Black-Scholes-formelen også kalt Black-Scholes-Merton var den første brukte modellen for opsjonsprising. Det er brukt til å beregne den teoretiske verdien av europeiske stilalternativer ved hjelp av dagens aksjekurser, forventet utbytte, opsjonspris, forventet rente, tidspunkt for utløp og forventet volatilitet Formelen utviklet av tre økonomer Fischer Black, Myron Scholes og Robert Merton er kanskje verdens mest kjente opsjonsprisemodell, og ble introdusert i 1973-papiret Prissetting av opsjoner og selskapsforpliktelser publisert i Journal of Political Economy Black gikk bort to år før Scholes og Merton ble tildelt Nobelprisen i økonomi i 1997 for deres arbeid med å finne en ny metode for å bestemme verdien av derivater som Nobelprisen er Ikke gitt posthumt, men Nobelkomiteen anerkjente Blacks rolle i Black-Scholes-modellen. Black-Scholes-modellen gjør visse forutsetninger. T han alternativet er europeisk og kan bare utøves ved utløpet. Ingen utbytte utbetales i løpet av opsjonsperioden. Tilstedeværelsen av effektive markeder, det vil si markedsbevegelser, kan ikke forventes. Det er ingen transaksjonskostnader ved kjøp av opsjonen. Den risikofrie rente og volatilitet på underliggende er kjent og konstant. At avkastningen på underliggende er normalt fordelt. Notat Mens den opprinnelige Black-Scholes modellen ikke trodde effekten av utbytte betalt i løpet av opsjonsperioden, er modellen ofte tilpasset til regnskap for utbytte ved å bestemme utdelingsdatoverdien for den underliggende aksjen. Black-Scholes Formula. Formelen, vist i Figur 4, tar hensyn til følgende variabler. Gjeldende underliggende pris. Valg av strike price. Time til utløp, uttrykt som en prosent av et år. Implied volatilitet. Riskfri rente. Figur 4 Black-Scholes prissetting formel for call options. The modellen er i hovedsak delt i to deler den første delen, SN d1 multipliserer prisen ved endringen i anropspremien i forhold til en endring i underliggende pris Denne delen av formelen viser den forventede fordelen ved å kjøpe den underliggende ordre. Den andre delen, N d2 Ke - rt, gir nåværende verdi av å betale utøvelseskurs ved utløp Husk, Black-Scholes-modellen gjelder for europeiske opsjoner som kun kan utøves på utløpsdagen Verdien av opsjonen beregnes ved å ta forskjellen mellom de to delene, som vist i ligningen. Matematikken involvert i formelen er komplisert og kan være skremmende. Heldigvis behøver du ikke å vite eller til og med forstå matematikken for å bruke Black-Scholes modellering i dine egne strategier. Som nevnt tidligere har opsjonshandlere tilgang til en rekke online-kalkulatorer på Internett, og mange av dagens s handelsplatforme kan skryte av robuste opsjonsanalyseværktøy, inkludert indikatorer og regneark som utfører beregningene og utfører valgprisverdiene Et eksempel o F en online Black-Scholes kalkulator er vist i Figur 5 brukeren skriver inn alle fem variablene strykpris, aksjekurs, tidsdager, volatilitet og risikofri rente og klikk Få tilbud for å vise resultater. Figur 5 En online Black-Scholes kalkulator kan brukes til å få verdier for begge samtalene og legger brukerne inn de nødvendige feltene, og kalkulatoren gjør resten av kalkulatoren høflighet. Black and Scholes modell. Black and Scholes Options Pricing Model viste seg ikke over natten, faktisk begynte Fisher Black å jobbe å opprette en verdivurderingsmodell for aksjekontrakter Dette arbeidet involverte å beregne et derivat for å måle hvordan diskonteringsrenten for en warrant varierer med tid og aksjekurs. Resultatet av denne beregningen hadde en slående likhet med en kjent varmeoverføringsligning. Kort etter denne oppdagelsen , Myron Scholes ble svart og resultatet av deres arbeid er en oppsiktsvekkende nøyaktig opsjonsprisemodell Black and Scholes kan ikke ta æren for sitt arbeid, faktisk deres modus Jeg er faktisk en forbedret versjon av en tidligere modell utviklet av A James Boness i sin Ph D-avhandling ved University of Chicago Black and Scholes forbedringer på Boness-modellen kommer i form av et bevis på at den risikofrie renten er riktig rabattfaktor og med fravær av forutsetninger om investorens risikofremstillinger. For å forstå modellen selv deler vi den i to deler. Den første delen, SN d1, danner den forventede fordelen ved å anskaffe et lager direkte. Dette er funnet ved å multiplisere aksjekurs S ved endring i anropspremie med hensyn til endring i underliggende aksjekurs N d1 Den andre delen av modellen, Ke - rt N d2, gir nåverdien av å betale oppløsningskursen på utløpsdagen. Markedsverdien av anropsalternativet beregnes da ved å ta forskjellen mellom disse to delene. Avsetningene til Black and Scholes Model.1 Beholdningen betaler ingen utbytte i opsjonsperioden. De fleste selskaper betaler utbytte til deres aksjonærer, slik at dette kan virke som en seriøs begrensning for modellen med tanke på observasjonen om at høyere utbytter gir lavere lavere premieinntekter. En vanlig måte å justere modellen på denne situasjonen er å trekke ned diskontert verdi av et fremtidig utbytte fra aksjekursen .2 Europeiske utøvelsesvilkår benyttes. Europeiske utøvelsesvilkår dikterer at opsjonen kun kan utøves på utløpsdatoen. American exercise term gjør det mulig å utøve muligheten til enhver tid i løpet av opsjonsperioden, noe som gjør amerikanske valgmuligheter mer verdifulle på grunn av deres større fleksibilitet Denne begrensningen er ikke en stor bekymring fordi svært få samtaler noen gang blir utøvet før de siste dagene av deres liv. Dette er sant fordi når du utøver et anrop tidlig, mister du den gjenværende tidverdien på samtalen og samler inntektsverdien Mot slutten av livet til en samtale, gjenværende tid verdi er svært liten, men den inneboende verdien er den samme.3 Markeder er effektive. Denne antagelsen foreslår at folk ikke konsekvent kan forutsi markedsretningen eller en enkelt aksje Markedet opererer kontinuerlig med aksjekursene etter en kontinuerlig prosess For å forstå hva en kontinuerlig prosess er, må du først vite at en Markov-prosess er en hvor observasjonen i tidsperiode t avhenger bare av foregående observasjon En It-prosessen er ganske enkelt en Markov-prosess i kontinuerlig tid. Hvis du skulle tegne en kontinuerlig prosess, ville du gjøre det uten å plukke pennen opp fra papiret. 4 Ingen provisjoner belastes. markedsdeltakere må betale en provisjon for å kjøpe eller selge opsjoner Selv gulvarekshandlere betaler litt avgift, men det er vanligvis svært lite. De avgifter som individuelle investorer betaler, er større og kan ofte forvride utgangen av modellen.5 Interesse prisene forblir konstant og kjent. Black and Scholes modellen bruker den risikofrie frekvensen til å representere denne konstante og kjente satsen. I virkeligheten er det ikke noe som risikofri men diskonteringsrenten på amerikanske regjeringskasseveksler med 30 dager igjen til forfall er vanligvis brukt til å representere den. I perioder med raskt skiftende renter er disse 30 dagers prisene ofte gjenstand for endring, og dermed bryter en av forutsetningene til modell.6 Avkastningen er lognormalt fordelt. Denne antagelsen antyder at avkastningen på underliggende aksjer normalt fordeles, noe som er rimelig for de fleste eiendeler som tilbyr opsjoner. Sosialt bruk av Black-Scholes Modelpersoner må bruke en opsjonsprisemodell for å regne Virkelig verdi av deres opsjonsopsjoner ESOs Her viser vi hvordan selskapene produserer disse estimatene i henhold til reglene som gjelder fra april 2004. Et alternativ har en minimumsverdi Ved tildeling har en typisk ESO tidsverdi, men ingen egenverdi. Men alternativet er verdt mer enn ingenting Minimumsverdi er minimumsprisen noen ville være villig til å betale for alternativet Det er verdien fortalte av to foreslåtte stykker av lovgivningen Enzi-Reid og Baker-Eshoo kongressregninger Det er også verdien som private selskaper kan bruke til å verdsette sine tilskudd. Hvis du bruker null som volatiliteten til Black-Scholes-modellen, får du minimumsverdien. Private selskaper kan bruke minimumsverdien fordi de mangler en handelshistorie, noe som gjør det vanskelig å måle volatilitet Legislatorer som minimumsverdien fordi den fjerner volatilitet - en kilde til stor kontrovers - fra ligningen. Det høyteknologiske fellesskapet prøver spesielt å undergrave Black-Scholes ved å argumentere for at volatiliteten er upålitelig Dessverre, å fjerne volatilitet skaper urettferdig sammenligning fordi det fjerner all risiko. For eksempel har et 50-alternativ på Wal-Mart-aksjen samme minimumsverdi som en 50-alternativ på en høyteknologisk aksje. Minste verdi forutsetter at aksjen må vokse ved minst den risikofylte satsen, for eksempel den fem - eller tiårige skattemessig avkastning Vi illustrerer ideen nedenfor, ved å undersøke en 30 opsjon med en 10-årig sikt og en 5 risikofri rente og ingen deling nds. Du kan se at minimumsverdimodellen tre ting 1 vokser aksjen til risikofri rente for hele sikt, 2 antar en øvelse og 3 rabatter fremtidig gevinst til nåverdi med samme risikofri rente. beregning av minimumsverdien Hvis vi forventer at en aksje oppnår minst en risikofri avkastning under minimumsverdien, reduserer utbyttet verdien av opsjonen som opsjonsinnehaveren gir utbytte. Sett på en annen måte hvis vi antar en risikofri rente for total avkastning, men en del av avkastningen lekker utbytte, forventet prisøkning vil bli lavere. Modellen reflekterer denne lavere verdsettelsen ved å redusere aksjekursen. I de to utstillingene nedenfor kommer vi ut fra minimumsverdien. Den første viser hvordan vi kommer til en minimumsverdi for en ikke-utbyttebetalende aksje, den andre erstatter en redusert aksjekurs i samme ligning for å gjenspeile den reduserende effekten av utbytte. Her er minimumsverdiformelen for en utbyttebetalende aksje. Euler s cons tant 2 718 d utbytteutbytte t opsjonstid k utøvelsestrekk pris r risikofylt sats Ikke vær bekymret for konstant e 2 718 Det er bare en måte å sammensatte og rabatt kontinuerlig i stedet for å samle seg med årlige intervaller. Black-Scholes Minimum Verdi Volatilitet Vi kan forstå Black-Scholes som å være lik opsjonens minimumsverdi pluss tilleggsverdi for alternativets volatilitet, desto større volatilitet, jo større tilleggsverdi Grafisk kan vi se minimumsverdien som en oppovergående funksjon av alternativet Term Volatilitet er et pluss opp på minimumsverdien line. De som er matematisk tilbøyelig kan foretrekke å forstå Black-Scholes som å ta minimumsverdien formel vi allerede har vurdert og legge til to volatilitetsfaktorer N1 og N2 Sammen øker disse verdi avhengig av graden av volatilitet. Black-Scholes må justeres for ESOs Black-Scholes estimerer virkelig verdi av et alternativ Det er en teoretisk modell som gjør flere forutsetninger, i Cluding full handel evne av alternativet som er, i hvilken grad alternativet kan utøves eller selges på opsjonsinnehaverens vilje og en konstant volatilitet gjennom hele opsjonslivet. Hvis forutsetningene er riktige, er modellen et matematisk bevis og prisutgangen må være riktig. Men strengt tatt er forutsetningene sannsynligvis ikke riktige. For eksempel krever det at aksjekursene skal bevege seg i en bane som kalles Brownian-bevegelsen - en fascinerende tilfeldig spasertur som faktisk observeres i mikroskopiske partikler. Mange studier tviler på at Beholdninger beveger seg bare på denne måten Andre mener at den britiske bevegelsen blir nær nok, og vurder Black-Scholes som et upresent men brukbart estimat. For kortvarige handlede alternativer har Black-Scholes vært svært vellykket i mange empiriske tester som sammenligner prisutviklingen til observerte markedspriser Det er tre viktige forskjeller mellom ESOer og kortsiktige handlede opsjoner som er oppsummert i tabellen nedenfor. Teknisk sett er hver av disse forskjellene bryter mot en Black-Scholes-antagelse - et faktum som regnes med regnskapsregler i FAS 123. Disse inkluderte to justeringer eller fikser til modellens naturlige utgang, men den tredje forskjellen - at volatiliteten ikke kan holde konstant over det uvanlig lange livet til en ESO - var ikke adressert Her er de tre forskjellene og de foreslåtte verdsettelsesrettene foreslått i FAS 123 som fortsatt er i kraft fra mars 2004. Den viktigste løsningen i henhold til gjeldende regler er at selskapene kan bruke forventet levetid i modellen i stedet for den faktiske fulle termen It er typisk for et selskap å bruke et forventet levetid på fire til seks år for å verdsette alternativer med 10-årige vilkår. Dette er en vanskelig løsning - et bandhjelp, egentlig - siden Black-Scholes krever selve begrepet. Men FASB lette etter en kvasi-objektiv måte å redusere ESOs verdi ettersom den ikke handles, det vil si å redusere ESOs verdi for manglende likviditet. Konklusjon - Praktiske effekter Black-Scholes er følsom for flere variabler, men hvis vi antar meg en 10-årig opsjon på en 1 utbyttebetalende aksje og en risikofri rente på 5, minimumsverdien antar ingen volatilitet gir oss 30 av aksjekursen Hvis vi legger til forventet volatilitet på, si 50, alternativverdien grovt dobler til nesten 60 av aksjekursen. Så, for dette alternativet, gir Black-Scholes oss 60 aksjekurs. Men når det gjelder et ESO, kan et selskap redusere den faktiske 10-årige innspillingen til et kortere forventet levetid. For eksempelet ovenfor, reduserer 10-årsperioden til et femårig forventet liv, bringer verdien ned til rundt 45 pålydende og en reduksjon på minst 10-20 er typisk når man reduserer terminen til det forventede livet. Til slutt kommer selskapet til å ta en reduksjon av hårklipp i påvente av forfeitures på grunn av personellomsetning I denne sammenhengen vil en ytterligere haircut på 5-15 være vanlig. I vårt eksempel vil 45 bli ytterligere redusert til en kostnad på ca. 30-40 av aksjekursen Etter å ha lagt til volatilitet og deretter subtraheres for redusert forventet levetid og forventede forfeitures, er vi nesten tilbake til minimumsverdien.